Επίλυση 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με 5 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 25 και το -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{115} από -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{5}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{14}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{14} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{14} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{7} και το \frac{25}{196} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Παραγον x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{14} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$