Επίλυση 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Λύση ως προς n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 7n^{2}+an+bn-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 39.

$$a=-3 b=42$$

Γράψτε πάλι το 7n^{2}+39n-18 ως \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7n-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 7n-3=0 και n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 7, το b με 39 και το c με -18 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Υψώστε το 39 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το -28 επί -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Προσθέστε το 1521 και το 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-39±45}{14} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -39 και το 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{14} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-39±45}{14} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 45 από -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Διαιρέστε το -84 με το 14.

$$n=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Προσθέστε 18 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Η αφαίρεση του -18 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Αφαιρέστε -18 από 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Η διαίρεση με το 7 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Διαιρέστε το \frac{39}{7}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{39}{14}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{39}{14} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{39}{14} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Προσθέστε το \frac{18}{7} και το \frac{1521}{196} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Παραγον n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Αφαιρέστε \frac{39}{14} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$