Επίλυση 7+(x-4)^2=11

$$7 + ( x - 4 ) ^ { 2 } = 11$$

Λύση ως προς x

$$x=6$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Προσθέστε 7 και 16 για να λάβετε 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Αφαιρέστε 11 από 23 για να λάβετε 12.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε x^{2}-8x+12 χρησιμοποιώντας τον τύπο x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Επανεγγραφή παραγοντοποιηθεί παράστασης \left(x+a\right)\left(x+b\right) χρησιμοποιώντας τις τιμές που έχουν ληφθεί.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Προσθέστε 7 και 16 για να λάβετε 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Αφαιρέστε 11 από 23 για να λάβετε 12.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=1\times 12=12$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-6 b=-2$$

Γράψτε πάλι το x^{2}-8x+12 ως \left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-2x+12\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x-6\right)-2\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-6=0 και x-2=0.

$$x=6 x=2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Προσθέστε 7 και 16 για να λάβετε 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Αφαιρέστε 11 και από τις δύο πλευρές.

$$23+x^{2}-8x-11=0$$

Αφαιρέστε 11 από 23 για να λάβετε 12.

$$12+x^{2}-8x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x^{2}-8x+12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 1, το b με -8 και το c με 12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 12}}{2}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 12}}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 12.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-48}}{2}$$

Προσθέστε το 64 και το -48.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±4}{2}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±4}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4}{2} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 4.

$$x=\frac{12}{2}$$

Διαιρέστε το 12 με το 2.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±4}{2} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από 8.

$$x=\frac{4}{2}$$

Διαιρέστε το 4 με το 2.

$$x=2$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=6 x=2$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-4\right)^{2}.

$$7+x^{2}-8x+16=11$$

Προσθέστε 7 και 16 για να λάβετε 23.

$$23+x^{2}-8x=11$$

Αφαιρέστε 23 και από τις δύο πλευρές.

$$x^{2}-8x=11-23$$

Αφαιρέστε 23 από 11 για να λάβετε -12.

$$x^{2}-8x=-12$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-12+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$x^{2}-8x+16=-12+16$$

Προσθέστε το -12 και το 16.

$$x^{2}-8x+16=4$$

Παραγον x^{2}-8x+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=4$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Απλοποιήστε.

$$x-4=2 x-4=-2$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=6 x=2$$