Επίλυση 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Λύση ως προς n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$5n+4n^{2}=636$$

Αφαιρέστε 636 και από τις δύο πλευρές.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4n^{2}+an+bn-636. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 5.

$$a=-48 b=53$$

Γράψτε πάλι το 4n^{2}+5n-636 ως \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Παραγοντοποιήστε 4n στο πρώτο και στο 53 της δεύτερης ομάδας.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-12=0 και 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$5n+4n^{2}=636$$

Αφαιρέστε 636 και από τις δύο πλευρές.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 5 και το c με -636 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 5 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 25 και το 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-5±101}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -5 και το 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Διαιρέστε το 96 με το 8.

$$n=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-5±101}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 101 από -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-106}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Κάντε εναλλαγή πλευρών έτσι ώστε όλοι οι μεταβλητοί όροι να βρίσκονται στην αριστερή πλευρά.

$$5n+4n^{2}=636$$

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Διαιρέστε το 636 με το 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Διαιρέστε το \frac{5}{4}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{5}{8}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{5}{8} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{5}{8} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Προσθέστε το 159 και το \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Παραγον n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Αφαιρέστε \frac{5}{8} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$