Επίλυση 6y^2+19y+10

$$6 y ^ { 2 } + 19 y + 10$$

Παράγοντας

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6y^{2}+ay+by+10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=19 ab=6\times 10=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 19.

$$a=4 b=15$$

Γράψτε πάλι το 6y^{2}+19y+10 ως \left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right).

$$\left(6y^{2}+4y\right)+\left(15y+10\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2y στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2y\left(3y+2\right)+5\left(3y+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3y+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6y^{2}+19y+10=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 19 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-24\times 10}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί 10.

$$y=\frac{-19±\sqrt{361-240}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 361 και το -240.

$$y=\frac{-19±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$y=\frac{-19±11}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$y=\frac{-19±11}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-19±11}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -19 και το 11.

$$y=-\frac{8}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$y=-\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-19±11}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -19.

$$y=-\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$y=-\frac{5}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{2}{3} με το x_{1} και το -\frac{5}{2} με το x_{2}.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)\left(y-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6y^{2}+19y+10=6\left(y+\frac{2}{3}\right)\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\left(y+\frac{5}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{2} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{3y+2}{3}\times \frac{2y+5}{2}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{3y+2}{3} επί \frac{2y+5}{2} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{3\times 2}$$

Πολλαπλασιάστε το 3 επί 2.

$$6y^{2}+19y+10=6\times \frac{\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)}{6}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 6 σε 6 και 6.

$$6y^{2}+19y+10=\left(3y+2\right)\left(2y+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(2y+5\right)\left(3y+2\right)$$