Επίλυση 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-8 b=5$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-3x-20 ως \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με -9 και το c με -60 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 81 και το 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -9 είναι 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±39}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 9 και το 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Διαιρέστε το 48 με το 12.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{9±39}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 39 από 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Προσθέστε 60 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Η αφαίρεση του -60 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Αφαιρέστε -60 από 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-9}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Διαιρέστε το 60 με το 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το 10 και το \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$