Επίλυση 6x^2-27x-54

$$6 { x }^{ 2 } -27x-54$$

Παράγοντας

$$3\left(x-6\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(2x^{2}-9x-18\right)$$

Υπολογίστε 2x^{2}-9x-18. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-18. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-9 ab=2\left(-18\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -9.

$$a=-12 b=3$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-9x-18 ως \left(2x^{2}-12x\right)+\left(3x-18\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(3x-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 3 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-6 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-6\right)\left(2x+3\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(x-6\right)\left(2x+3\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-27x-54=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\times 6\left(-54\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το -27 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\times 6\left(-54\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-24\left(-54\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -54.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+1296}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 729 και το 1296.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{2025}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2025.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±45}{2\times 6}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -27 είναι 27.

$$x=\frac{27±45}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{27±45}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±45}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 27 και το 45.

$$x=\frac{72}{12}$$

Διαιρέστε το 72 με το 12.

$$x=6$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{27±45}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 45 από 27.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-18}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 6 με το x_{1} και το -\frac{3}{2} με το x_{2}.

$$6x^{2}-27x-54=6\left(x-6\right)\left(x-\left(-\frac{3}{2}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$6x^{2}-27x-54=6\left(x-6\right)\left(x+\frac{3}{2}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{2} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$6x^{2}-27x-54=6\left(x-6\right)\times \frac{2x+3}{2}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 2 σε 6 και 2.

$$6x^{2}-27x-54=3\left(x-6\right)\left(2x+3\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(x-6\right)\left(2x+3\right)$$