Επίλυση 6x^2+37x-13=0

$$6 { x }^{ 2 } +37x-13=0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 6x^{2}+ax+bx-13. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=37 ab=6\left(-13\right)=-78$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -78.

$$-1,78 -2,39 -3,26 -6,13$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+78=77 -2+39=37 -3+26=23 -6+13=7$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 37.

$$a=-2 b=39$$

Γράψτε πάλι το 6x^{2}+37x-13 ως \left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right).

$$\left(6x^{2}-2x\right)+\left(39x-13\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 13 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(3x-1\right)+13\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(2x+13\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και 2x+13=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 6, το b με 37 και το c με -13 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Υψώστε το 37 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 6\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 6.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369-24\left(-13\right)}}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το -24 επί -13.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1369+312}}{2\times 6}$$

Προσθέστε το 1369 και το 312.

$$x=\frac{-37±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1681.

$$x=\frac{-37±41}{2\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 6.

$$x=\frac{-37±41}{12}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-37±41}{12} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -37 και το 41.

$$x=\frac{4}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-37±41}{12} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 41 από -37.

$$x=-\frac{78}{12}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-78}{12} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{13}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+37x-13=0$$

Προσθέστε 13 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$6x^{2}+37x-13-\left(-13\right)=-\left(-13\right)$$

Η αφαίρεση του -13 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$6x^{2}+37x=-\left(-13\right)$$

Αφαιρέστε -13 από 0.

$$6x^{2}+37x=13$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 6.

$$\frac{6x^{2}+37x}{6}=\frac{13}{6}$$

Η διαίρεση με το 6 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 6.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x=\frac{13}{6}$$

Διαιρέστε το \frac{37}{6}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{37}{12}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{37}{12} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{13}{6}+\left(\frac{37}{12}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{37}{12} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{13}{6}+\frac{1369}{144}$$

Προσθέστε το \frac{13}{6} και το \frac{1369}{144} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}=\frac{1681}{144}$$

Παραγον x^{2}+\frac{37}{6}x+\frac{1369}{144}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{37}{12}=\frac{41}{12} x+\frac{37}{12}=-\frac{41}{12}$$

Αφαιρέστε \frac{37}{12} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-\frac{13}{2}$$