Επίλυση 56x^2-30x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -30x+1=0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{28}\approx 0,035714286$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 56x^{2}+ax+bx+1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-30 ab=56\times 1=56$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -30.

$$a=-28 b=-2$$

Γράψτε πάλι το 56x^{2}-30x+1 ως \left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right).

$$\left(56x^{2}-28x\right)+\left(-2x+1\right)$$

Παραγοντοποιήστε 28x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$28x\left(2x-1\right)-\left(2x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-1\right)\left(28x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-1=0 και 28x-1=0.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 56, το b με -30 και το c με 1 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Υψώστε το -30 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 56}}{2\times 56}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 56.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 56}$$

Προσθέστε το 900 και το -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 56}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 56}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -30 είναι 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 56}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 56.

$$x=\frac{30±26}{112}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{30±26}{112} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 30 και το 26.

$$x=\frac{56}{112}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{56}{112} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 56.

$$x=\frac{1}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{30±26}{112} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 26 από 30.

$$x=\frac{4}{112}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{112} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{1}{28}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-30x+1=0$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$56x^{2}-30x+1-1=-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$56x^{2}-30x=-1$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 56.

$$\frac{56x^{2}-30x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Η διαίρεση με το 56 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-30}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x=-\frac{1}{56}$$

Διαιρέστε το -\frac{15}{28}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{15}{56}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{15}{56} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{15}{56}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{15}{56} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=-\frac{1}{56}+\frac{225}{3136}$$

Προσθέστε το -\frac{1}{56} και το \frac{225}{3136} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}=\frac{169}{3136}$$

Παραγον x^{2}-\frac{15}{28}x+\frac{225}{3136}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}=\frac{169}{3136}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{56}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{3136}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{15}{56}=\frac{13}{56} x-\frac{15}{56}=-\frac{13}{56}$$

Προσθέστε \frac{15}{56} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{1}{28}$$