Επίλυση 5x^2-2x-16=0

$$5 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1,6$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-16. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-2 ab=5\left(-16\right)=-80$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -80.

$$1,-80 2,-40 4,-20 5,-16 8,-10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-80=-79 2-40=-38 4-20=-16 5-16=-11 8-10=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -2.

$$a=-10 b=8$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-2x-16 ως \left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(8x-16\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-2\right)+8\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(5x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και 5x+8=0.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -2 και το c με -16 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 5\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-20\left(-16\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+320}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 4 και το 320.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{324}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±18}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -2 είναι 2.

$$x=\frac{2±18}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{2±18}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±18}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 2 και το 18.

$$x=\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το 20 με το 10.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{2±18}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από 2.

$$x=-\frac{16}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{8}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-2x-16=0$$

Προσθέστε 16 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Η αφαίρεση του -16 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Αφαιρέστε -16 από 0.

$$5x^{2}-2x=16$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-2x}{5}=\frac{16}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{16}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{2}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{1}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{1}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{5}+\frac{1}{25}$$

Προσθέστε το \frac{16}{5} και το \frac{1}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{81}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{9}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{9}{5}$$

Προσθέστε \frac{1}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{8}{5}$$