Επίλυση 5x^2-14x-3

$$5 x ^ { 2 } - 14 x - 3$$

Παράγοντας

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-3. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-14 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15.

$$1,-15 3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -14.

$$a=-15 b=1$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-14x-3 ως \left(5x^{2}-15x\right)+\left(x-3\right).

$$\left(5x^{2}-15x\right)+\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 5x στην εξίσωση 5x^{2}-15x.

$$5x\left(x-3\right)+x-3$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}-14x-3=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 5\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-20\left(-3\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -3.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+60}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 196 και το 60.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 256.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±16}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±16}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{14±16}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±16}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 16.

$$x=\frac{30}{10}$$

Διαιρέστε το 30 με το 10.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±16}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 16 από 14.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-2}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -\frac{1}{5} με το x_{2}.

$$5x^{2}-14x-3=5\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{1}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5x^{2}-14x-3=5\left(x-3\right)\left(x+\frac{1}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5x^{2}-14x-3=5\left(x-3\right)\times \frac{5x+1}{5}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5x^{2}-14x-3=\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-3\right)\left(5x+1\right)$$