Επίλυση 5x^2-12x+4=0

$$5 x ^ { 2 } - 12 x + 4 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx+4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -12.

$$a=-10 b=-2$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}-12x+4 ως \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και 5x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -12 και το c με 4 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 144 και το -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±8}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 8.

$$x=\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το 20 με το 10.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±8}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Αφαιρέστε 4 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-12x+4-4=-4$$

Η αφαίρεση του 4 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-12x=-4$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{12}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{6}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{6}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{6}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

Προσθέστε το -\frac{4}{5} και το \frac{36}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

Προσθέστε \frac{6}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$