Επίλυση 5x^2+2x-7

$$5 x ^ { 2 } + 2 x - 7$$

Παράγοντας

$$\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-7. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=2 ab=5\left(-7\right)=-35$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -35.

$$-1,35 -5,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+35=34 -5+7=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 2.

$$a=-5 b=7$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+2x-7 ως \left(5x^{2}-5x\right)+\left(7x-7\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(7x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε 5x στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$5x\left(x-1\right)+7\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+2x-7=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+140}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 4 και το 140.

$$x=\frac{-2±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-2±12}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-2±12}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±12}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 12.

$$x=\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το 10 με το 10.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±12}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -2.

$$x=-\frac{14}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{7}{5}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 1 με το x_{1} και το -\frac{7}{5} με το x_{2}.

$$5x^{2}+2x-7=5\left(x-1\right)\left(x-\left(-\frac{7}{5}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5x^{2}+2x-7=5\left(x-1\right)\left(x+\frac{7}{5}\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{5} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5x^{2}+2x-7=5\left(x-1\right)\times \frac{5x+7}{5}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5x^{2}+2x-7=\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(x-1\right)\left(5x+7\right)$$