Επίλυση 5t^2+28t+32

$$5 t ^ { 2 } + 28 t + 32$$

Παράγοντας

$$\left(t+4\right)\left(5t+8\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5t^{2}+at+bt+32. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=28 ab=5\times 32=160$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 160.

$$1,160 2,80 4,40 5,32 8,20 10,16$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+160=161 2+80=82 4+40=44 5+32=37 8+20=28 10+16=26$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 28.

$$a=8 b=20$$

Γράψτε πάλι το 5t^{2}+28t+32 ως \left(5t^{2}+8t\right)+\left(20t+32\right).

$$\left(5t^{2}+8t\right)+\left(20t+32\right)$$

Παραγοντοποιήστε t στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$t\left(5t+8\right)+4\left(5t+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5t+8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5t+8\right)\left(t+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5t^{2}+28t+32=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$t=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 28 στο τετράγωνο.

$$t=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 5\times 32}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$t=\frac{-28±\sqrt{784-20\times 32}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 32.

$$t=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 784 και το -640.

$$t=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$t=\frac{-28±12}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$t=\frac{-28±12}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-28±12}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -28 και το 12.

$$t=-\frac{16}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-16}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$t=-\frac{8}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση t=\frac{-28±12}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από -28.

$$t=-\frac{40}{10}$$

Διαιρέστε το -40 με το 10.

$$t=-4$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{8}{5} με το x_{1} και το -4 με το x_{2}.

$$5t^{2}+28t+32=5\left(t-\left(-\frac{8}{5}\right)\right)\left(t-\left(-4\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5t^{2}+28t+32=5\left(t+\frac{8}{5}\right)\left(t+4\right)$$

Προσθέστε το \frac{8}{5} και το t βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5t^{2}+28t+32=5\times \frac{5t+8}{5}\left(t+4\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5t^{2}+28t+32=\left(5t+8\right)\left(t+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(t+4\right)\left(5t+8\right)$$