Επίλυση 5(x+2)^2=(7x+3)(x+2)

$$5 ( x + 2 ) ^ { 2 } = ( 7 x + 3 ) ( x + 2 )$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x+3 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Αφαιρέστε 7x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Συνδυάστε το 5x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Αφαιρέστε 17x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Συνδυάστε το 20x και το -17x για να λάβετε 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 20 για να λάβετε 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -2x^{2}+ax+bx+14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=-2\times 14=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=7 b=-4$$

Γράψτε πάλι το -2x^{2}+3x+14 ως \left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right).

$$\left(-2x^{2}+7x\right)+\left(-4x+14\right)$$

Παραγοντοποιήστε -x στο πρώτο και στο -2 της δεύτερης ομάδας.

$$-x\left(2x-7\right)-2\left(2x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-7\right)\left(-x-2\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-7=0 και -x-2=0.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x+3 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Αφαιρέστε 7x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Συνδυάστε το 5x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Αφαιρέστε 17x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Συνδυάστε το 20x και το -17x για να λάβετε 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Αφαιρέστε 6 και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+3x+20-6=0$$

Αφαιρέστε 6 από 20 για να λάβετε 14.

$$-2x^{2}+3x+14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με -2, το b με 3 και το c με 14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 14}}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 14.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\left(-2\right)}$$

Προσθέστε το 9 και το 112.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-3±11}{2\left(-2\right)}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί -2.

$$x=\frac{-3±11}{-4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±11}{-4} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 11.

$$x=\frac{8}{-4}$$

Διαιρέστε το 8 με το -4.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±11}{-4} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από -3.

$$x=-\frac{14}{-4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{-4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{7}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=\frac{7}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x+2\right)^{2}.

$$5\left(x^{2}+4x+4\right)=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 5 με το x^{2}+4x+4.

$$5x^{2}+20x+20=\left(7x+3\right)\left(x+2\right)$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 7x+3 με το x+2 και συνδυάστε τους παρόμοιους όρους.

$$5x^{2}+20x+20=7x^{2}+17x+6$$

Αφαιρέστε 7x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$5x^{2}+20x+20-7x^{2}=17x+6$$

Συνδυάστε το 5x^{2} και το -7x^{2} για να λάβετε -2x^{2}.

$$-2x^{2}+20x+20=17x+6$$

Αφαιρέστε 17x και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+20x+20-17x=6$$

Συνδυάστε το 20x και το -17x για να λάβετε 3x.

$$-2x^{2}+3x+20=6$$

Αφαιρέστε 20 και από τις δύο πλευρές.

$$-2x^{2}+3x=6-20$$

Αφαιρέστε 20 από 6 για να λάβετε -14.

$$-2x^{2}+3x=-14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με -2.

$$\frac{-2x^{2}+3x}{-2}=-\frac{14}{-2}$$

Η διαίρεση με το -2 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το -2.

$$x^{2}+\frac{3}{-2}x=-\frac{14}{-2}$$

Διαιρέστε το 3 με το -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{14}{-2}$$

Διαιρέστε το -14 με το -2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=7$$

Διαιρέστε το -\frac{3}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{3}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=7+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{3}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=7+\frac{9}{16}$$

Προσθέστε το 7 και το \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{121}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{11}{4}$$

Προσθέστε \frac{3}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7}{2} x=-2$$