Επίλυση 5y^2+17y+14

$$5 { y }^{ 2 } +17y+14$$

Παράγοντας

$$\left(y+2\right)\left(5y+7\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5y^{2}+ay+by+14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=5\times 14=70$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 70.

$$1,70 2,35 5,14 7,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+70=71 2+35=37 5+14=19 7+10=17$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=7 b=10$$

Γράψτε πάλι το 5y^{2}+17y+14 ως \left(5y^{2}+7y\right)+\left(10y+14\right).

$$\left(5y^{2}+7y\right)+\left(10y+14\right)$$

Παραγοντοποιήστε y στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$y\left(5y+7\right)+2\left(5y+7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5y+7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5y+7\right)\left(y+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$5y^{2}+17y+14=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$y=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 5\times 14}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 5\times 14}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-20\times 14}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί 14.

$$y=\frac{-17±\sqrt{289-280}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 289 και το -280.

$$y=\frac{-17±\sqrt{9}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9.

$$y=\frac{-17±3}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$y=\frac{-17±3}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-17±3}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 3.

$$y=-\frac{14}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{7}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{-17±3}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3 από -17.

$$y=-\frac{20}{10}$$

Διαιρέστε το -20 με το 10.

$$y=-2$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{7}{5} με το x_{1} και το -2 με το x_{2}.

$$5y^{2}+17y+14=5\left(y-\left(-\frac{7}{5}\right)\right)\left(y-\left(-2\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$5y^{2}+17y+14=5\left(y+\frac{7}{5}\right)\left(y+2\right)$$

Προσθέστε το \frac{7}{5} και το y βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$5y^{2}+17y+14=5\times \frac{5y+7}{5}\left(y+2\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 5 σε 5 και 5.

$$5y^{2}+17y+14=\left(5y+7\right)\left(y+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(y+2\right)\left(5y+7\right)$$