Επίλυση 5x^2-12x-7=0

$$5 { x }^{ 2 } -12x-7=0$$

Λύση ως προς x

$$x = \frac{\sqrt{71} + 6}{5} \approx 2,885229955$$

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}\approx -0,485229955$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με -12 και το c με -7 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το -12 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\left(-7\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+140}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 144 και το 140.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{284}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 284.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -12 είναι 12.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 12 και το 2\sqrt{71}.

$$x=\frac{2\sqrt{71}+12}{10}$$

Διαιρέστε το 12+2\sqrt{71} με το 10.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{12±2\sqrt{71}}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2\sqrt{71} από 12.

$$x=\frac{12-2\sqrt{71}}{10}$$

Διαιρέστε το 12-2\sqrt{71} με το 10.

$$x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x-7=0$$

Προσθέστε 7 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}-12x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Η αφαίρεση του -7 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}-12x=-\left(-7\right)$$

Αφαιρέστε -7 από 0.

$$5x^{2}-12x=7$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=\frac{7}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=\frac{7}{5}$$

Διαιρέστε το -\frac{12}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{6}{5}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{6}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{7}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{6}{5} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{7}{5}+\frac{36}{25}$$

Προσθέστε το \frac{7}{5} και το \frac{36}{25} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{71}{25}$$

Παραγον x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{71}{25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{71}{25}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{71}}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{71}}{5}$$

Προσθέστε \frac{6}{5} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{\sqrt{71}+6}{5} x=\frac{6-\sqrt{71}}{5}$$