Επίλυση 5x^2+3x-2=0

$$5 { x }^{ 2 } +3x-2=0$$

Λύση ως προς x

$$x=-1$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 5x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=3 ab=5\left(-2\right)=-10$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -10.

$$-1,10 -2,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$a=-2 b=5$$

Γράψτε πάλι το 5x^{2}+3x-2 ως \left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right).

$$\left(5x^{2}-2x\right)+\left(5x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε το x στην εξίσωση 5x^{2}-2x.

$$x\left(5x-2\right)+5x-2$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 5x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(5x-2\right)\left(x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 5x-2=0 και x+1=0.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 5, το b με 3 και το c με -2 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 5\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-20\left(-2\right)}}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το -20 επί -2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\times 5}$$

Προσθέστε το 9 και το 40.

$$x=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\times 5}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 49.

$$x=\frac{-3±7}{2\times 5}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 5.

$$x=\frac{-3±7}{10}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±7}{10} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 7.

$$x=\frac{4}{10}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{10} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-3±7}{10} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 7 από -3.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Διαιρέστε το -10 με το 10.

$$x=-1$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+3x-2=0$$

Προσθέστε 2 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$5x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

Η αφαίρεση του -2 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$5x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

Αφαιρέστε -2 από 0.

$$5x^{2}+3x=2$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5.

$$\frac{5x^{2}+3x}{5}=\frac{2}{5}$$

Η διαίρεση με το 5 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 5.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x=\frac{2}{5}$$

Διαιρέστε το \frac{3}{5}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{10}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{10} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{10} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{2}{5}+\frac{9}{100}$$

Προσθέστε το \frac{2}{5} και το \frac{9}{100} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=\frac{49}{100}$$

Παραγον x^{2}+\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}=\frac{49}{100}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{100}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{10}=\frac{7}{10} x+\frac{3}{10}=-\frac{7}{10}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{10} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{5} x=-1$$