Επίλυση 4x^2-8x-5=0

$$4 x ^ { 2 } - 8 x - 5 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-5. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=4\left(-5\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-10 b=2$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}-8x-5 ως \left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(2x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 4x^{2}-10x.

$$2x\left(2x-5\right)+2x-5$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 2x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 2x-5=0 και 2x+1=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -8 και το c με -5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -5.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 64 και το 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 144.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -8 είναι 8.

$$x=\frac{8±12}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{8±12}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±12}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 8 και το 12.

$$x=\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{8±12}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 12 από 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-8x-5=0$$

Προσθέστε 5 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-8x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Η αφαίρεση του -5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-8x=-\left(-5\right)$$

Αφαιρέστε -5 από 0.

$$4x^{2}-8x=5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-8x}{4}=\frac{5}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{4}\right)x=\frac{5}{4}$$

Διαιρέστε το -8 με το 4.

$$x^{2}-2x=\frac{5}{4}$$

Διαιρέστε το -2, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -1. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-2x+1=\frac{5}{4}+1$$

Προσθέστε το \frac{5}{4} και το 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{9}{4}$$

Παραγον x^{2}-2x+1. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-1=\frac{3}{2} x-1=-\frac{3}{2}$$

Προσθέστε 1 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{1}{2}$$