Επίλυση 4x^2-14x-8=0

$$4 x ^ { 2 } - 14 x - 8 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=4$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$2x^{2}-7x-4=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-4. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=2\left(-4\right)=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$1,-8 2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-8 b=1$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}-7x-4 ως \left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(x-4\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 2x στην εξίσωση 2x^{2}-8x.

$$2x\left(x-4\right)+x-4$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-4 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-4\right)\left(2x+1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-4=0 και 2x+1=0.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}-14x-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με -14 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το -14 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+128}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 196 και το 128.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±18}{2\times 4}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -14 είναι 14.

$$x=\frac{14±18}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{14±18}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±18}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 14 και το 18.

$$x=\frac{32}{8}$$

Διαιρέστε το 32 με το 8.

$$x=4$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{14±18}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από 14.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-4}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-14x-8=0$$

Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}-14x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Η αφαίρεση του -8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}-14x=-\left(-8\right)$$

Αφαιρέστε -8 από 0.

$$4x^{2}-14x=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}-14x}{4}=\frac{8}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{4}\right)x=\frac{8}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{8}{4}$$

Διαιρέστε το 8 με το 4.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=2$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=2+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=2+\frac{49}{16}$$

Προσθέστε το 2 και το \frac{49}{16}.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{81}{16}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{9}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{9}{4}$$

Προσθέστε \frac{7}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=4 x=-\frac{1}{2}$$