Επίλυση 4x^2+4x+9=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 9 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i\approx -0,5+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}\approx -0,5-1,414213562i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 4 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 4 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\times 9}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\times 9}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 9.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-144}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 16 και το -144.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-128}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -128.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -4 και το 8i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-4+2\times 2^{\frac{5}{2}}i}{8}$$

Διαιρέστε το -4+2i\times 2^{\frac{5}{2}} με το 8.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-4±8\sqrt{2}i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i\sqrt{2} από -4.

$$x=\frac{-2\times 2^{\frac{5}{2}}i-4}{8}$$

Διαιρέστε το -4-2i\times 2^{\frac{5}{2}} με το 8.

$$x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+4x+9-9=-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+4x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{9}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{9}{4}$$

Διαιρέστε το 4 με το 4.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{4}$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-9+1}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{9}{4} και το \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-2$$

Παραγον x^{2}+x+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-2$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{2}=\sqrt{2}i x+\frac{1}{2}=-\sqrt{2}i$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{1}{2}+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-\frac{1}{2}$$