Επίλυση 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 28 και το c με 53 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 28 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 784 και το -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±8i}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -28 και το 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Διαιρέστε το -28+8i με το 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-28±8i}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8i από -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Διαιρέστε το -28-8i με το 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Αφαιρέστε 53 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Η αφαίρεση του 53 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Διαιρέστε το 28 με το 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Διαιρέστε το 7, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{7}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{7}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{7}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Προσθέστε το -\frac{53}{4} και το \frac{49}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Παραγον x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Αφαιρέστε \frac{7}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$