Επίλυση 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως x^{2}+ax+bx+8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 8.

$$1,8 2,4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+8=9 2+4=6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 6.

$$a=2 b=4$$

Γράψτε πάλι το x^{2}+6x+8 ως \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right).

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x+2=0 και x+4=0.

$$x=-2 x=-4$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 24 και το c με 32 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 24 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 576 και το -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 64.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-24±8}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -24 και το 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το -16 με το 8.

$$x=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-24±8}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 8 από -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Διαιρέστε το -32 με το 8.

$$x=-4$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=-2 x=-4$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Αφαιρέστε 32 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Η αφαίρεση του 32 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το 24 με το 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Διαιρέστε το -32 με το 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Διαιρέστε το 6, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε 3. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του 3 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Προσθέστε το -8 και το 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Παραγον x^{2}+6x+9. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Αφαιρέστε 3 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=-2 x=-4$$