Επίλυση 4x^2+2x+1=21

$$4 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 21$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Αφαιρέστε 21 από 1 για να λάβετε -20.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 2.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 2x^{2}+ax+bx-10. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=2\left(-10\right)=-20$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -20.

$$-1,20 -2,10 -4,5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+20=19 -2+10=8 -4+5=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-4 b=5$$

Γράψτε πάλι το 2x^{2}+x-10 ως \left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right).

$$\left(2x^{2}-4x\right)+\left(5x-10\right)$$

Παραγοντοποιήστε 2x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$2x\left(x-2\right)+5\left(x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-2\right)\left(2x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-2=0 και 2x+5=0.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+2x+1-21=21-21$$

Η αφαίρεση του 21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+2x+1-21=0$$

Αφαιρέστε 21 από 1.

$$4x^{2}+2x-20=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 4, το b με 2 και το c με -20 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 2 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -20.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+320}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 4 και το 320.

$$x=\frac{-2±\sqrt{324}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 324.

$$x=\frac{-2±18}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-2±18}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±18}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -2 και το 18.

$$x=\frac{16}{8}$$

Διαιρέστε το 16 με το 8.

$$x=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-2±18}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 18 από -2.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x+1=21$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$4x^{2}+2x+1-1=21-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$4x^{2}+2x=21-1$$

Αφαιρέστε 1 από 21.

$$4x^{2}+2x=20$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{20}{4}$$

Η διαίρεση με το 4 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{20}{4}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{4} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{20}{4}$$

Διαιρέστε το 20 με το 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=5$$

Διαιρέστε το \frac{1}{2}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{4}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{4} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=5+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{4} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=5+\frac{1}{16}$$

Προσθέστε το 5 και το \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{81}{16}$$

Παραγον x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{81}{16}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{16}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{9}{4}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{4} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$