Επίλυση 4a^2+12a-72

$$4 a ^ { 2 } + 12 a - 72$$

Παράγοντας

$$4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 4.

$$4\left(a^{2}+3a-18\right)$$

Υπολογίστε a^{2}+3a-18. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως a^{2}+pa+qa-18. Για να βρείτε p και q, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$p+q=3 pq=1\left(-18\right)=-18$$

Εφόσον το pq είναι αρνητικό, οι p και q έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι p+q είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 3.

$$p=-3 q=6$$

Γράψτε πάλι το a^{2}+3a-18 ως \left(a^{2}-3a\right)+\left(6a-18\right).

$$\left(a^{2}-3a\right)+\left(6a-18\right)$$

Παραγοντοποιήστε a στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$a\left(a-3\right)+6\left(a-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο a-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4a^{2}+12a-72=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$a=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\left(-72\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 12 στο τετράγωνο.

$$a=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\left(-72\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$a=\frac{-12±\sqrt{144-16\left(-72\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -72.

$$a=\frac{-12±\sqrt{144+1152}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 144 και το 1152.

$$a=\frac{-12±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1296.

$$a=\frac{-12±36}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$a=\frac{-12±36}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{-12±36}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -12 και το 36.

$$a=\frac{24}{8}$$

Διαιρέστε το 24 με το 8.

$$a=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση a=\frac{-12±36}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 36 από -12.

$$a=-\frac{48}{8}$$

Διαιρέστε το -48 με το 8.

$$a=-6$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 3 με το x_{1} και το -6 με το x_{2}.

$$4a^{2}+12a-72=4\left(a-3\right)\left(a-\left(-6\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4a^{2}+12a-72=4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$

Υπολογισμός

$$4\left(a-3\right)\left(a+6\right)$$