Επίλυση 4x^2+19x-30

$$4 { x }^{ 2 } +19x-30$$

Παράγοντας

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 4x^{2}+ax+bx-30. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=19 ab=4\left(-30\right)=-120$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 19.

$$a=-5 b=24$$

Γράψτε πάλι το 4x^{2}+19x-30 ως \left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right).

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(4x-5\right)+6\left(4x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}+19x-30=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Υψώστε το 19 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 4.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-16\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το -16 επί -30.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+480}}{2\times 4}$$

Προσθέστε το 361 και το 480.

$$x=\frac{-19±\sqrt{841}}{2\times 4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 841.

$$x=\frac{-19±29}{2\times 4}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 4.

$$x=\frac{-19±29}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-19±29}{8} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -19 και το 29.

$$x=\frac{10}{8}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{10}{8} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-19±29}{8} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 29 από -19.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Διαιρέστε το -48 με το 8.

$$x=-6$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{4} με το x_{1} και το -6 με το x_{2}.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x+6\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$4x^{2}+19x-30=4\times \frac{4x-5}{4}\left(x+6\right)$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 4 σε 4 και 4.

$$4x^{2}+19x-30=\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$