Επίλυση 3z^2-21z-24

$$3 z ^ { 2 } - 21 z - 24$$

Παράγοντας

$$3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε το 3.

$$3\left(z^{2}-7z-8\right)$$

Υπολογίστε z^{2}-7z-8. Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως z^{2}+az+bz-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-7 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -8.

$$1,-8 2,-4$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -7.

$$a=-8 b=1$$

Γράψτε πάλι το z^{2}-7z-8 ως \left(z^{2}-8z\right)+\left(z-8\right).

$$\left(z^{2}-8z\right)+\left(z-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε το z στην εξίσωση z^{2}-8z.

$$z\left(z-8\right)+z-8$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z-8 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Γράψτε ξανά την πλήρη παραγοντοποιημένη παράσταση.

$$3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}-21z-24=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -21 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -24.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 441 και το 288.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 729.

$$z=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -21 είναι 21.

$$z=\frac{21±27}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$z=\frac{21±27}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{21±27}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 21 και το 27.

$$z=\frac{48}{6}$$

Διαιρέστε το 48 με το 6.

$$z=8$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{21±27}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 27 από 21.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το -6 με το 6.

$$z=-1$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 8 με το x_{1} και το -1 με το x_{2}.

$$3z^{2}-21z-24=3\left(z-8\right)\left(z-\left(-1\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3z^{2}-21z-24=3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$

Υπολογισμός

$$3\left(z-8\right)\left(z+1\right)$$