Επίλυση 3z^2+16z+20

$$3 z ^ { 2 } + 16 z + 20$$

Παράγοντας

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3z^{2}+az+bz+20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=3\times 20=60$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=6 b=10$$

Γράψτε πάλι το 3z^{2}+16z+20 ως \left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right).

$$\left(3z^{2}+6z\right)+\left(10z+20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3z στο πρώτο και στο 10 της δεύτερης ομάδας.

$$3z\left(z+2\right)+10\left(z+2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο z+2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3z^{2}+16z+20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-12\times 20}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 20.

$$z=\frac{-16±\sqrt{256-240}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 256 και το -240.

$$z=\frac{-16±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 16.

$$z=\frac{-16±4}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$z=\frac{-16±4}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-16±4}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 4.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το -12 με το 6.

$$z=-2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση z=\frac{-16±4}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 4 από -16.

$$z=-\frac{20}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-20}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$z=-\frac{10}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -2 με το x_{1} και το -\frac{10}{3} με το x_{2}.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z-\left(-2\right)\right)\left(z-\left(-\frac{10}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\left(z+\frac{10}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{10}{3} και το z βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3z^{2}+16z+20=3\left(z+2\right)\times \frac{3z+10}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3z^{2}+16z+20=\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(z+2\right)\left(3z+10\right)$$