Επίλυση 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -7 και το c με 5 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -7 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 49 και το -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -11.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -7 είναι 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 7 και το i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε i\sqrt{11} από 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Αφαιρέστε 5 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

Η αφαίρεση του 5 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{7}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{7}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{7}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{7}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Προσθέστε το -\frac{5}{3} και το \frac{49}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Προσθέστε \frac{7}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$