Επίλυση 3x^2-11x-4<0

$$3 x ^ { 2 } - 11 x - 4 < 0$$

Λύση ως προς x

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Για να επιλύσετε τις ανισότητες, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά. Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}-11x-4=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να επιλυθούν χρησιμοποιώντας τον πολυωνυμικό τύπο: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Υποκαταστήστε 3 για a, -11 για b και -4 για c στον πολυωνυμικό τύπου.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 3\left(-4\right)}}{2\times 3}$$

Κάντε τους υπολογισμούς.

$$x=\frac{11±13}{6}$$

Επιλύστε την εξίσωση x=\frac{11±13}{6} όταν το ± είναι συν και όταν ± είναι μείον.

$$x=4 x=-\frac{1}{3}$$

Γράψτε ξανά τις ανισότητες, χρησιμοποιώντας τις λύσεις που βρέθηκαν.

$$3\left(x-4\right)\left(x+\frac{1}{3}\right)<0$$

Για να είναι αρνητικό το γινόμενο, τα x-4 και x+\frac{1}{3} πρέπει να έχουν αντίθετο πρόσημο. Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x-4 είναι θετικό και το x+\frac{1}{3} είναι αρνητικό.

$$x-4>0 x+\frac{1}{3}<0$$

Αυτό είναι ψευδές για οποιοδήποτε x.

$$x\in \emptyset$$

Σκεφτείτε την περίπτωση όταν το x+\frac{1}{3} είναι θετικό και το x-4 είναι αρνητικό.

$$x+\frac{1}{3}>0 x-4<0$$

Η λύση που ικανοποιεί και τις δύο ανισότητες είναι x\in \left(-\frac{1}{3},4\right).

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$

Η τελική λύση είναι η ένωση των λύσεων που βρέθηκαν.

$$x\in \left(-\frac{1}{3},4\right)$$