Επίλυση 3x^2+9x+9=0

$$3 x ^ { 2 } + 9 x + 9 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}\approx -1,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}\approx -1,5-0,866025404i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 9 και το c με 9 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 9 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 9}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-108}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 81 και το -108.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-27}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -27.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -9 και το 3i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-9+3\sqrt{3}i}{6}$$

Διαιρέστε το -9+3i\sqrt{3} με το 6.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-9±3\sqrt{3}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 3i\sqrt{3} από -9.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-9}{6}$$

Διαιρέστε το -9-3i\sqrt{3} με το 6.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+9x+9=0$$

Αφαιρέστε 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+9x+9-9=-9$$

Η αφαίρεση του 9 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+9x=-9$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+9x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{9}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Διαιρέστε το 9 με το 3.

$$x^{2}+3x=-\frac{9}{3}$$

Διαιρέστε το -9 με το 3.

$$x^{2}+3x=-3$$

Διαιρέστε το 3, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{3}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{3}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{3}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-3+\frac{9}{4}$$

Προσθέστε το -3 και το \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=-\frac{3}{4}$$

Παραγον x^{2}+3x+\frac{9}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{3}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{-3+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-3}{2}$$