Επίλυση 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3,666666667$$

$$x=1$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-11. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -33.

$$-1,33 -3,11$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 8.

$$a=-3 b=11$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+8x-11 ως \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 11 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-1=0 και 3x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 8 και το c με -11 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 8 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 64 και το 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±14}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -8 και το 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Διαιρέστε το 6 με το 6.

$$x=1$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-8±14}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 14 από -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-22}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Προσθέστε 11 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Η αφαίρεση του -11 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Αφαιρέστε -11 από 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{8}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{4}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{4}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{4}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Προσθέστε το \frac{11}{3} και το \frac{16}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{4}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$