Επίλυση 3x^2+23x-8=0

$$3 x ^ { 2 } + 23 x - 8 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-8$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-8. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=23 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 23.

$$a=-1 b=24$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+23x-8 ως \left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right).

$$\left(3x^{2}-x\right)+\left(24x-8\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 8 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-1\right)+8\left(3x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-1\right)\left(x+8\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-1=0 και x+8=0.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 23 και το c με -8 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-23±\sqrt{23^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 23 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -8.

$$x=\frac{-23±\sqrt{529+96}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 529 και το 96.

$$x=\frac{-23±\sqrt{625}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 625.

$$x=\frac{-23±25}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-23±25}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-23±25}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -23 και το 25.

$$x=\frac{2}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{2}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-23±25}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 25 από -23.

$$x=-\frac{48}{6}$$

Διαιρέστε το -48 με το 6.

$$x=-8$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+23x-8=0$$

Προσθέστε 8 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+23x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Η αφαίρεση του -8 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+23x=-\left(-8\right)$$

Αφαιρέστε -8 από 0.

$$3x^{2}+23x=8$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+23x}{3}=\frac{8}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x=\frac{8}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{23}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{23}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{23}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{23}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{23}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{8}{3}+\frac{529}{36}$$

Προσθέστε το \frac{8}{3} και το \frac{529}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}=\frac{625}{36}$$

Παραγον x^{2}+\frac{23}{3}x+\frac{529}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}=\frac{625}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{23}{6}=\frac{25}{6} x+\frac{23}{6}=-\frac{25}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{23}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{1}{3} x=-8$$