Επίλυση 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 16.

$$a=-2 b=18$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}+16x-12 ως \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε x στο πρώτο και στο 6 της δεύτερης ομάδας.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-2=0 και x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 16 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 16 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 256 και το 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±20}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -16 και το 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{4}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-16±20}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 20 από -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Διαιρέστε το -36 με το 6.

$$x=-6$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Προσθέστε 12 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Η αφαίρεση του -12 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Αφαιρέστε -12 από 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Διαιρέστε το 12 με το 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Διαιρέστε το \frac{16}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{8}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{8}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{8}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Παραγον x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Αφαιρέστε \frac{8}{3} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$