Επίλυση 3x+14sqrt{x}=5

$$3 x + 14 \sqrt { x } = 5$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{1}{9}\approx 0,111111111$$

Βήματα λύσης

Αφαιρέστε 3x και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$14\sqrt{x}=5-3x$$

Υψώστε στο τετράγωνο και τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$\left(14\sqrt{x}\right)^{2}=\left(5-3x\right)^{2}$$

Αναπτύξτε το \left(14\sqrt{x}\right)^{2}.

$$14^{2}\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(5-3x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το 14στη δύναμη του 2 και λάβετε 196.

$$196\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(5-3x\right)^{2}$$

Υπολογίστε το \sqrt{x}στη δύναμη του 2 και λάβετε x.

$$196x=\left(5-3x\right)^{2}$$

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(5-3x\right)^{2}.

$$196x=25-30x+9x^{2}$$

Αφαιρέστε 25 και από τις δύο πλευρές.

$$196x-25=-30x+9x^{2}$$

Προσθήκη 30x και στις δύο πλευρές.

$$196x-25+30x=9x^{2}$$

Συνδυάστε το 196x και το 30x για να λάβετε 226x.

$$226x-25=9x^{2}$$

Αφαιρέστε 9x^{2} και από τις δύο πλευρές.

$$226x-25-9x^{2}=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$-9x^{2}+226x-25=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως -9x^{2}+ax+bx-25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=226 ab=-9\left(-25\right)=225$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 225.

$$1,225 3,75 5,45 9,25 15,15$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+225=226 3+75=78 5+45=50 9+25=34 15+15=30$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 226.

$$a=225 b=1$$

Γράψτε πάλι το -9x^{2}+226x-25 ως \left(-9x^{2}+225x\right)+\left(x-25\right).

$$\left(-9x^{2}+225x\right)+\left(x-25\right)$$

Παραγοντοποιήστε 9x στο πρώτο και στο -1 της δεύτερης ομάδας.

$$9x\left(-x+25\right)-\left(-x+25\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο -x+25 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(-x+25\right)\left(9x-1\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε -x+25=0 και 9x-1=0.

$$x=25 x=\frac{1}{9}$$

Αντικαταστήστε το x με 25 στην εξίσωση 3x+14\sqrt{x}=5.

$$3\times 25+14\sqrt{25}=5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=25 δεν ικανοποιεί την εξίσωση.

$$145=5$$

Αντικαταστήστε το x με \frac{1}{9} στην εξίσωση 3x+14\sqrt{x}=5.

$$3\times \frac{1}{9}+14\sqrt{\frac{1}{9}}=5$$

Απλοποιήστε. Η τιμή x=\frac{1}{9} ικανοποιεί την εξίσωση.

$$5=5$$

Η εξίσωση 14\sqrt{x}=5-3x έχει μια μοναδική λύση.

$$x=\frac{1}{9}$$