Επίλυση 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Λύση ως προς r

$$r=3$$

$$r=5$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Προσθήκη 45 και στις δύο πλευρές.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως r^{2}+ar+br+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -8.

$$a=-5 b=-3$$

Γράψτε πάλι το r^{2}-8r+15 ως \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε r στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο r-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε r-5=0 και r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Προσθέστε 45 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Η αφαίρεση του -45 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Αφαιρέστε -45 από 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -24 και το c με 45 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -24 στο τετράγωνο.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 576 και το -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -24 είναι 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{24±6}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 24 και το 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Διαιρέστε το 30 με το 6.

$$r=5$$

Λύστε τώρα την εξίσωση r=\frac{24±6}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 6 από 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το 18 με το 6.

$$r=3$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$r=5 r=3$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Διαιρέστε το -24 με το 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Διαιρέστε το -45 με το 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Διαιρέστε το -8, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -4. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Υψώστε το -4 στο τετράγωνο.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Προσθέστε το -15 και το 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Παραγον r^{2}-8r+16. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Απλοποιήστε.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Προσθέστε 4 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$r=5 r=3$$