Επίλυση 3q^2+q-14=0

$$3 q ^ { 2 } + q - 14 = 0$$

Λύση ως προς q

$$q = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$q=2$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3q^{2}+aq+bq-14. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=3\left(-14\right)=-42$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-6 b=7$$

Γράψτε πάλι το 3q^{2}+q-14 ως \left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right).

$$\left(3q^{2}-6q\right)+\left(7q-14\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3q στο πρώτο και στο 7 της δεύτερης ομάδας.

$$3q\left(q-2\right)+7\left(q-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο q-2 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(q-2\right)\left(3q+7\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε q-2=0 και 3q+7=0.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 1 και το c με -14 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 1 στο τετράγωνο.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-14\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -14.

$$q=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 168.

$$q=\frac{-1±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$q=\frac{-1±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$q=\frac{-1±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση q=\frac{-1±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -1 και το 13.

$$q=\frac{12}{6}$$

Διαιρέστε το 12 με το 6.

$$q=2$$

Λύστε τώρα την εξίσωση q=\frac{-1±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από -1.

$$q=-\frac{14}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-14}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$q=-\frac{7}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}+q-14=0$$

Προσθέστε 14 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3q^{2}+q-14-\left(-14\right)=-\left(-14\right)$$

Η αφαίρεση του -14 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3q^{2}+q=-\left(-14\right)$$

Αφαιρέστε -14 από 0.

$$3q^{2}+q=14$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3q^{2}+q}{3}=\frac{14}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q=\frac{14}{3}$$

Διαιρέστε το \frac{1}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{14}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{14}{3}+\frac{1}{36}$$

Προσθέστε το \frac{14}{3} και το \frac{1}{36} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}=\frac{169}{36}$$

Παραγον q^{2}+\frac{1}{3}q+\frac{1}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(q+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$q+\frac{1}{6}=\frac{13}{6} q+\frac{1}{6}=-\frac{13}{6}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{6} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$q=2 q=-\frac{7}{3}$$