Επίλυση 3n^2-n-420

$$3 n ^ { 2 } - n - 420$$

Παράγοντας

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3n^{2}+an+bn-420. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-1 ab=3\left(-420\right)=-1260$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1260.

$$1,-1260 2,-630 3,-420 4,-315 5,-252 6,-210 7,-180 9,-140 10,-126 12,-105 14,-90 15,-84 18,-70 20,-63 21,-60 28,-45 30,-42 35,-36$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-1260=-1259 2-630=-628 3-420=-417 4-315=-311 5-252=-247 6-210=-204 7-180=-173 9-140=-131 10-126=-116 12-105=-93 14-90=-76 15-84=-69 18-70=-52 20-63=-43 21-60=-39 28-45=-17 30-42=-12 35-36=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -1.

$$a=-36 b=35$$

Γράψτε πάλι το 3n^{2}-n-420 ως \left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right).

$$\left(3n^{2}-36n\right)+\left(35n-420\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3n στο πρώτο και στο 35 της δεύτερης ομάδας.

$$3n\left(n-12\right)+35\left(n-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-12 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$3n^{2}-n-420=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 3\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-12\left(-420\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -420.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+5040}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1 και το 5040.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5041}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 5041.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±71}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -1 είναι 1.

$$n=\frac{1±71}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$n=\frac{1±71}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{1±71}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 1 και το 71.

$$n=\frac{72}{6}$$

Διαιρέστε το 72 με το 6.

$$n=12$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{1±71}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 71 από 1.

$$n=-\frac{70}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-70}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$n=-\frac{35}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το 12 με το x_{1} και το -\frac{35}{3} με το x_{2}.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n-\left(-\frac{35}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\left(n+\frac{35}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{35}{3} και το n βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$3n^{2}-n-420=3\left(n-12\right)\times \frac{3n+35}{3}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 3 σε 3 και 3.

$$3n^{2}-n-420=\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(n-12\right)\left(3n+35\right)$$