Επίλυση 3n^2+3n+1=1141

$$3 n ^ { 2 } + 3 n + 1 = 1141$$

Λύση ως προς n

$$n=-20$$

$$n=19$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Αφαιρέστε 1141 και από τις δύο πλευρές.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Αφαιρέστε 1141 από 1 για να λάβετε -1140.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$n^{2}+n-380=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως n^{2}+an+bn-380. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=1 ab=1\left(-380\right)=-380$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -380.

$$-1,380 -2,190 -4,95 -5,76 -10,38 -19,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+380=379 -2+190=188 -4+95=91 -5+76=71 -10+38=28 -19+20=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 1.

$$a=-19 b=20$$

Γράψτε πάλι το n^{2}+n-380 ως \left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right).

$$\left(n^{2}-19n\right)+\left(20n-380\right)$$

Παραγοντοποιήστε n στο πρώτο και στο 20 της δεύτερης ομάδας.

$$n\left(n-19\right)+20\left(n-19\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο n-19 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(n-19\right)\left(n+20\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε n-19=0 και n+20=0.

$$n=19 n=-20$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Αφαιρέστε 1141 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3n^{2}+3n+1-1141=1141-1141$$

Η αφαίρεση του 1141 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3n^{2}+3n+1-1141=0$$

Αφαιρέστε 1141 από 1.

$$3n^{2}+3n-1140=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με 3 και το c με -1140 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το 3 στο τετράγωνο.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9-12\left(-1140\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -1140.

$$n=\frac{-3±\sqrt{9+13680}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 9 και το 13680.

$$n=\frac{-3±\sqrt{13689}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 13689.

$$n=\frac{-3±117}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$n=\frac{-3±117}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-3±117}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -3 και το 117.

$$n=\frac{114}{6}$$

Διαιρέστε το 114 με το 6.

$$n=19$$

Λύστε τώρα την εξίσωση n=\frac{-3±117}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 117 από -3.

$$n=-\frac{120}{6}$$

Διαιρέστε το -120 με το 6.

$$n=-20$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$n=19 n=-20$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+3n+1=1141$$

Αφαιρέστε 1 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$3n^{2}+3n+1-1=1141-1$$

Η αφαίρεση του 1 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$3n^{2}+3n=1141-1$$

Αφαιρέστε 1 από 1141.

$$3n^{2}+3n=1140$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3n^{2}+3n}{3}=\frac{1140}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$n^{2}+\frac{3}{3}n=\frac{1140}{3}$$

Διαιρέστε το 3 με το 3.

$$n^{2}+n=\frac{1140}{3}$$

Διαιρέστε το 1140 με το 3.

$$n^{2}+n=380$$

Διαιρέστε το 1, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε \frac{1}{2}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του \frac{1}{2} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=380+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Υψώστε το \frac{1}{2} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=380+\frac{1}{4}$$

Προσθέστε το 380 και το \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{1521}{4}$$

Παραγον n^{2}+n+\frac{1}{4}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1521}{4}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1521}{4}}$$

Απλοποιήστε.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{39}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{39}{2}$$

Αφαιρέστε \frac{1}{2} και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$n=19 n=-20$$