Επίλυση 3(x-5)^2-4(x-5)+2=0

$$3 ( x - 5 ) ^ { 2 } - 4 ( x - 5 ) + 2 = 0$$

Λύση ως προς x (complex solution)

$$x=\frac{17+\sqrt{2}i}{3}\approx 5,666666667+0,471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+17}{3}\approx 5,666666667-0,471404521i$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$3\left(x^{2}-10x+25\right)-4\left(x-5\right)+2=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}-10x+25.

$$3x^{2}-30x+75-4\left(x-5\right)+2=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το x-5.

$$3x^{2}-30x+75-4x+20+2=0$$

Συνδυάστε το -30x και το -4x για να λάβετε -34x.

$$3x^{2}-34x+75+20+2=0$$

Προσθέστε 75 και 20 για να λάβετε 95.

$$3x^{2}-34x+95+2=0$$

Προσθέστε 95 και 2 για να λάβετε 97.

$$3x^{2}-34x+97=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -34 και το c με 97 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{\left(-34\right)^{2}-4\times 3\times 97}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -34 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-4\times 3\times 97}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-12\times 97}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί 97.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{1156-1164}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 1156 και το -1164.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του -8.

$$x=\frac{-\left(-34\right)±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -34 είναι 34.

$$x=\frac{34±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{34±2\sqrt{2}i}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{34±2\sqrt{2}i}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 34 και το 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{34+2\sqrt{2}i}{6}$$

Διαιρέστε το 34+2i\sqrt{2} με το 6.

$$x=\frac{17+\sqrt{2}i}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{34±2\sqrt{2}i}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2i\sqrt{2} από 34.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+34}{6}$$

Διαιρέστε το 34-2i\sqrt{2} με το 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+17}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{17+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+17}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε το διωνυμικό θεώρημα \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} για να αναπτύξετε το \left(x-5\right)^{2}.

$$3\left(x^{2}-10x+25\right)-4\left(x-5\right)+2=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}-10x+25.

$$3x^{2}-30x+75-4\left(x-5\right)+2=0$$

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το -4 με το x-5.

$$3x^{2}-30x+75-4x+20+2=0$$

Συνδυάστε το -30x και το -4x για να λάβετε -34x.

$$3x^{2}-34x+75+20+2=0$$

Προσθέστε 75 και 20 για να λάβετε 95.

$$3x^{2}-34x+95+2=0$$

Προσθέστε 95 και 2 για να λάβετε 97.

$$3x^{2}-34x+97=0$$

Αφαιρέστε 97 και από τις δύο πλευρές. Το υπόλοιπο της αφαίρεσης οποιουδήποτε αριθμού από το μηδέν ισούται με τον αντίστοιχο αρνητικό αριθμό.

$$3x^{2}-34x=-97$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-34x}{3}=-\frac{97}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{34}{3}x=-\frac{97}{3}$$

Διαιρέστε το -\frac{34}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{17}{3}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{17}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{34}{3}x+\left(-\frac{17}{3}\right)^{2}=-\frac{97}{3}+\left(-\frac{17}{3}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{17}{3} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{34}{3}x+\frac{289}{9}=-\frac{97}{3}+\frac{289}{9}$$

Προσθέστε το -\frac{97}{3} και το \frac{289}{9} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{34}{3}x+\frac{289}{9}=-\frac{2}{9}$$

Παραγον x^{2}-\frac{34}{3}x+\frac{289}{9}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{17}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x-\frac{17}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Προσθέστε \frac{17}{3} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{17+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+17}{3}$$