Επίλυση 3(x^2-4)=5x

$$3 ( x ^ { 2 } - 4 ) = 5 x$$

Λύση ως προς x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}-4.

$$3x^{2}-12=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-12-5x=0$$

Αναδιατάξτε το πολυώνυμο για να το θέσετε σε τυπική μορφή. Τοποθετήστε τους όρους με τη σειρά, από τη μεγαλύτερη προς τη μικρότερη δύναμη.

$$3x^{2}-5x-12=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 3x^{2}+ax+bx-12. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-5 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -5.

$$a=-9 b=4$$

Γράψτε πάλι το 3x^{2}-5x-12 ως \left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(4x-12\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(x-3\right)+4\left(x-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο x-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(x-3\right)\left(3x+4\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε x-3=0 και 3x+4=0.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}-4.

$$3x^{2}-12=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-12-5x=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$3x^{2}-5x-12=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 3, το b με -5 και το c με -12 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Υψώστε το -5 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το -12 επί -12.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 3}$$

Προσθέστε το 25 και το 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 3}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -5 είναι 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 3.

$$x=\frac{5±13}{6}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±13}{6} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 5 και το 13.

$$x=\frac{18}{6}$$

Διαιρέστε το 18 με το 6.

$$x=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{5±13}{6} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 13 από 5.

$$x=-\frac{8}{6}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{6} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Χρησιμοποιήστε την επιμεριστική ιδιότητα για να πολλαπλασιάσετε το 3 με το x^{2}-4.

$$3x^{2}-12=5x$$

Αφαιρέστε 5x και από τις δύο πλευρές.

$$3x^{2}-12-5x=0$$

Προσθήκη 12 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$3x^{2}-5x=12$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{12}{3}$$

Η διαίρεση με το 3 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{12}{3}$$

Διαιρέστε το 12 με το 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=4$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{3}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{6}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=4+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{6} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=4+\frac{25}{36}$$

Προσθέστε το 4 και το \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{169}{36}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{13}{6}$$

Προσθέστε \frac{5}{6} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=3 x=-\frac{4}{3}$$