Επίλυση 28x^2-3x-1

$$28 x ^ { 2 } - 3 x - 1$$

Παράγοντας

$$\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 28x^{2}+ax+bx-1. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-3 ab=28\left(-1\right)=-28$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -3.

$$a=-7 b=4$$

Γράψτε πάλι το 28x^{2}-3x-1 ως \left(28x^{2}-7x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(28x^{2}-7x\right)+\left(4x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε το 7x στην εξίσωση 28x^{2}-7x.

$$7x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$28x^{2}-3x-1=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 28\left(-1\right)}}{2\times 28}$$

Υψώστε το -3 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 28\left(-1\right)}}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 28.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-112\left(-1\right)}}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το -112 επί -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+112}}{2\times 28}$$

Προσθέστε το 9 και το 112.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{121}}{2\times 28}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 121.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±11}{2\times 28}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -3 είναι 3.

$$x=\frac{3±11}{2\times 28}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 28.

$$x=\frac{3±11}{56}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±11}{56} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 3 και το 11.

$$x=\frac{14}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{14}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=\frac{1}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{3±11}{56} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 11 από 3.

$$x=-\frac{8}{56}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-8}{56} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{1}{7}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{4} με το x_{1} και το -\frac{1}{7} με το x_{2}.

$$28x^{2}-3x-1=28\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x-\left(-\frac{1}{7}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$28x^{2}-3x-1=28\left(x-\frac{1}{4}\right)\left(x+\frac{1}{7}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{4} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{4x-1}{4}\left(x+\frac{1}{7}\right)$$

Προσθέστε το \frac{1}{7} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{4x-1}{4}\times \frac{7x+1}{7}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4x-1}{4} επί \frac{7x+1}{7} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)}{4\times 7}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 7.

$$28x^{2}-3x-1=28\times \frac{\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)}{28}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 28 σε 28 και 28.

$$28x^{2}-3x-1=\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4x-1\right)\left(7x+1\right)$$