Επίλυση 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Λύση ως προς y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 25y^{2}+ay+by-63. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -54.

$$a=-75 b=21$$

Γράψτε πάλι το 25y^{2}-54y-63 ως \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Παραγοντοποιήστε 25y στο πρώτο και στο 21 της δεύτερης ομάδας.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο y-3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε y-3=0 και 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 25, το b με -54 και το c με -63 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Υψώστε το -54 στο τετράγωνο.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το -100 επί -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Προσθέστε το 2916 και το 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -54 είναι 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{54±96}{50} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 54 και το 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Διαιρέστε το 150 με το 50.

$$y=3$$

Λύστε τώρα την εξίσωση y=\frac{54±96}{50} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 96 από 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-42}{50} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Προσθέστε 63 και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Η αφαίρεση του -63 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Αφαιρέστε -63 από 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Η διαίρεση με το 25 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Διαιρέστε το -\frac{54}{25}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{27}{25}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{27}{25} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{27}{25} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Προσθέστε το \frac{63}{25} και το \frac{729}{625} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Παραγον y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Απλοποιήστε.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Προσθέστε \frac{27}{25} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$