Επίλυση 25x^2-10x-x^2-25=0

$$25 x ^ { 2 } - 10 x - x ^ { 2 } - 25 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=-\frac{5}{6}\approx -0,833333333$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx-25. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-10 ab=24\left(-25\right)=-600$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -600.

$$1,-600 2,-300 3,-200 4,-150 5,-120 6,-100 8,-75 10,-60 12,-50 15,-40 20,-30 24,-25$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-600=-599 2-300=-298 3-200=-197 4-150=-146 5-120=-115 6-100=-94 8-75=-67 10-60=-50 12-50=-38 15-40=-25 20-30=-10 24-25=-1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -10.

$$a=-30 b=20$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}-10x-25 ως \left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right).

$$\left(24x^{2}-30x\right)+\left(20x-25\right)$$

Παραγοντοποιήστε 6x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$6x\left(4x-5\right)+5\left(4x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x-5\right)\left(6x+5\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 4x-5=0 και 6x+5=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 24, το b με -10 και το c με -25 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Υψώστε το -10 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 24\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-96\left(-25\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί -25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+2400}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 100 και το 2400.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{2500}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±50}{2\times 24}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -10 είναι 10.

$$x=\frac{10±50}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{10±50}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±50}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 10 και το 50.

$$x=\frac{60}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{60}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=\frac{5}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{10±50}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 50 από 10.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Συνδυάστε το 25x^{2} και το -x^{2} για να λάβετε 24x^{2}.

$$24x^{2}-10x-25=0$$

Προσθήκη 25 και στις δύο πλευρές. Το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού με το μηδέν ισούται με τον ίδιο αριθμό.

$$24x^{2}-10x=25$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 24.

$$\frac{24x^{2}-10x}{24}=\frac{25}{24}$$

Η διαίρεση με το 24 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{24}\right)x=\frac{25}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-10}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 2.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{25}{24}$$

Διαιρέστε το -\frac{5}{12}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{5}{24}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{5}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{25}{24}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{5}{24} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{25}{24}+\frac{25}{576}$$

Προσθέστε το \frac{25}{24} και το \frac{25}{576} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{625}{576}$$

Παραγον x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{625}{576}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{576}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{25}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{25}{24}$$

Προσθέστε \frac{5}{24} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{5}{4} x=-\frac{5}{6}$$