Επίλυση 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Λύση ως προς x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Βήματα με χρήση παραγοντοποίησης με ομαδοποίηση

Για να λύσετε την εξίσωση, παραγοντοποιήστε την αριστερή πλευρά με ομαδοποίηση. Αρχικά, η αριστερή πλευρά πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx+21. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, το a και οι b είναι αρνητικά. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -65.

$$a=-56 b=-9$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}-65x+21 ως \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Παραγοντοποιήστε 8x στο πρώτο και στο -3 της δεύτερης ομάδας.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 3x-7 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Για να βρείτε λύσεις εξίσωσης, να λύσετε 3x-7=0 και 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Αυτή η εξίσωση είναι στην τυπική μορφή: ax^{2}+bx+c=0. Αντικαταστήστε το a με 24, το b με -65 και το c με 21 στον τετραγωνικό τύπο, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Υψώστε το -65 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 4225 και το -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2209.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -65 είναι 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{65±47}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 65 και το 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{112}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{65±47}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 47 από 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{18}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Η εξίσωση έχει πλέον λυθεί.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Βήματα συμπλήρωσης του τετραγώνου

Οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις όπως αυτή είναι δυνατό να λυθούν συμπληρώνοντας το τετράγωνο. Για να συμπληρώσετε το τετράγωνο, η εξίσωση πρώτα πρέπει να είναι στη μορφή x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Αφαιρέστε 21 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

Η αφαίρεση του 21 από τον εαυτό έχει ως αποτέλεσμα 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 24.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

Η διαίρεση με το 24 αναιρεί τον πολλαπλασιασμό με το 24.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-21}{24} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Διαιρέστε το -\frac{65}{24}, τον συντελεστή του όρου x, με το 2 για να λάβετε -\frac{65}{48}. Στη συνέχεια, προσθέστε το τετράγωνο του -\frac{65}{48} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης. Αυτό το βήμα διευκολύνει στο να κάνετε την αριστερή πλευρά της εξίσωσης ένα τέλειο τετράγωνο.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Υψώστε το -\frac{65}{48} στο τετράγωνο υψώνοντας στο τετράγωνο τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Προσθέστε το -\frac{7}{8} και το \frac{4225}{2304} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Παραγον x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Γενικά, όταν το x^{2}+bx+c είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί πάντα να παραγοντοποηθεί ως \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα και των δύο πλευρών της εξίσωσης.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Απλοποιήστε.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Προσθέστε \frac{65}{48} και στις δύο πλευρές της εξίσωσης.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$