Επίλυση 24x^2+38x+15

$$24 x ^ { 2 } + 38 x + 15$$

Παράγοντας

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx+15. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=38 ab=24\times 15=360$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 360.

$$1,360 2,180 3,120 4,90 5,72 6,60 8,45 9,40 10,36 12,30 15,24 18,20$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+360=361 2+180=182 3+120=123 4+90=94 5+72=77 6+60=66 8+45=53 9+40=49 10+36=46 12+30=42 15+24=39 18+20=38$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 38.

$$a=18 b=20$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}+38x+15 ως \left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right).

$$\left(24x^{2}+18x\right)+\left(20x+15\right)$$

Παραγοντοποιήστε 6x στο πρώτο και στο 5 της δεύτερης ομάδας.

$$6x\left(4x+3\right)+5\left(4x+3\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 4x+3 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+38x+15=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-38±\sqrt{38^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Υψώστε το 38 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί 15.

$$x=\frac{-38±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 1444 και το -1440.

$$x=\frac{-38±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 4.

$$x=\frac{-38±2}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{-38±2}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-38±2}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -38 και το 2.

$$x=-\frac{36}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-36}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 12.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-38±2}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 2 από -38.

$$x=-\frac{40}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-40}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 8.

$$x=-\frac{5}{6}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{3}{4} με το x_{1} και το -\frac{5}{6} με το x_{2}.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{6}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$24x^{2}+38x+15=24\left(x+\frac{3}{4}\right)\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Προσθέστε το \frac{3}{4} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\left(x+\frac{5}{6}\right)$$

Προσθέστε το \frac{5}{6} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{4x+3}{4}\times \frac{6x+5}{6}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{4x+3}{4} επί \frac{6x+5}{6} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{4\times 6}$$

Πολλαπλασιάστε το 4 επί 6.

$$24x^{2}+38x+15=24\times \frac{\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)}{24}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 24 σε 24 και 24.

$$24x^{2}+38x+15=\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(4x+3\right)\left(6x+5\right)$$