Επίλυση 24w^2-23w-630

$$24 w ^ { 2 } - 23 w - 630$$

Παράγοντας

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24w^{2}+aw+bw-630. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=-23 ab=24\left(-630\right)=-15120$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Εφόσον το a+b είναι αρνητικό, ο αρνητικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από το θετικό. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -15120.

$$1,-15120 2,-7560 3,-5040 4,-3780 5,-3024 6,-2520 7,-2160 8,-1890 9,-1680 10,-1512 12,-1260 14,-1080 15,-1008 16,-945 18,-840 20,-756 21,-720 24,-630 27,-560 28,-540 30,-504 35,-432 36,-420 40,-378 42,-360 45,-336 48,-315 54,-280 56,-270 60,-252 63,-240 70,-216 72,-210 80,-189 84,-180 90,-168 105,-144 108,-140 112,-135 120,-126$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1-15120=-15119 2-7560=-7558 3-5040=-5037 4-3780=-3776 5-3024=-3019 6-2520=-2514 7-2160=-2153 8-1890=-1882 9-1680=-1671 10-1512=-1502 12-1260=-1248 14-1080=-1066 15-1008=-993 16-945=-929 18-840=-822 20-756=-736 21-720=-699 24-630=-606 27-560=-533 28-540=-512 30-504=-474 35-432=-397 36-420=-384 40-378=-338 42-360=-318 45-336=-291 48-315=-267 54-280=-226 56-270=-214 60-252=-192 63-240=-177 70-216=-146 72-210=-138 80-189=-109 84-180=-96 90-168=-78 105-144=-39 108-140=-32 112-135=-23 120-126=-6$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα -23.

$$a=-135 b=112$$

Γράψτε πάλι το 24w^{2}-23w-630 ως \left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right).

$$\left(24w^{2}-135w\right)+\left(112w-630\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3w στο πρώτο και στο 14 της δεύτερης ομάδας.

$$3w\left(8w-45\right)+14\left(8w-45\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 8w-45 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$24w^{2}-23w-630=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Υψώστε το -23 στο τετράγωνο.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 24\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-96\left(-630\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί -630.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529+60480}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 529 και το 60480.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{61009}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 61009.

$$w=\frac{-\left(-23\right)±247}{2\times 24}$$

Το αντίθετο ενός αριθμού -23 είναι 23.

$$w=\frac{23±247}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$w=\frac{23±247}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{23±247}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το 23 και το 247.

$$w=\frac{270}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{270}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$w=\frac{45}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση w=\frac{23±247}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 247 από 23.

$$w=-\frac{224}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-224}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$w=-\frac{14}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{45}{8} με το x_{1} και το -\frac{14}{3} με το x_{2}.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w-\left(-\frac{14}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$24w^{2}-23w-630=24\left(w-\frac{45}{8}\right)\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Αφαιρέστε w από \frac{45}{8} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\left(w+\frac{14}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{14}{3} και το w βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{8w-45}{8}\times \frac{3w+14}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{8w-45}{8} επί \frac{3w+14}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{8\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 3.

$$24w^{2}-23w-630=24\times \frac{\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)}{24}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 24 σε 24 και 24.

$$24w^{2}-23w-630=\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(8w-45\right)\left(3w+14\right)$$