Επίλυση 24x^2+17x-20

$$24 { x }^{ 2 } +17x-20$$

Παράγοντας

$$\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 24x^{2}+ax+bx-20. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=17 ab=24\left(-20\right)=-480$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -480.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 17.

$$a=-15 b=32$$

Γράψτε πάλι το 24x^{2}+17x-20 ως \left(24x^{2}-15x\right)+\left(32x-20\right).

$$\left(24x^{2}-15x\right)+\left(32x-20\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(8x-5\right)+4\left(8x-5\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 8x-5 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$24x^{2}+17x-20=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 24\left(-20\right)}}{2\times 24}$$

Υψώστε το 17 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 24\left(-20\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 24.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-96\left(-20\right)}}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το -96 επί -20.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289+1920}}{2\times 24}$$

Προσθέστε το 289 και το 1920.

$$x=\frac{-17±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 2209.

$$x=\frac{-17±47}{2\times 24}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 24.

$$x=\frac{-17±47}{48}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±47}{48} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -17 και το 47.

$$x=\frac{30}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{30}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{5}{8}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-17±47}{48} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 47 από -17.

$$x=-\frac{64}{48}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-64}{48} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 16.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{5}{8} με το x_{1} και το -\frac{4}{3} με το x_{2}.

$$24x^{2}+17x-20=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$24x^{2}+17x-20=24\left(x-\frac{5}{8}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{5}{8} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{8x-5}{8}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{8x-5}{8}\times \frac{3x+4}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{8x-5}{8} επί \frac{3x+4}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)}{8\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 8 επί 3.

$$24x^{2}+17x-20=24\times \frac{\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)}{24}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 24 σε 24 και 24.

$$24x^{2}+17x-20=\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(8x-5\right)\left(3x+4\right)$$