Επίλυση 21x^2+11x-2

$$21 x ^ { 2 } + 11 x - 2$$

Παράγοντας

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 21x^{2}+ax+bx-2. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=11 ab=21\left(-2\right)=-42$$

Εφόσον το ab είναι αρνητικό, οι a και b έχουν τα αντίθετο σήματα. Δεδομένου ότι a+b είναι θετικός, ο θετικός αριθμός έχει μεγαλύτερη απόλυτη τιμή από τη αρνητική. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 11.

$$a=-3 b=14$$

Γράψτε πάλι το 21x^{2}+11x-2 ως \left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right).

$$\left(21x^{2}-3x\right)+\left(14x-2\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 2 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(7x-1\right)+2\left(7x-1\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x-1 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+11x-2=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Υψώστε το 11 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 21\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-84\left(-2\right)}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -84 επί -2.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\times 21}$$

Προσθέστε το 121 και το 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\times 21}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 21.

$$x=\frac{-11±17}{42}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±17}{42} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -11 και το 17.

$$x=\frac{6}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{6}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=\frac{1}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-11±17}{42} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 17 από -11.

$$x=-\frac{28}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-28}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το \frac{1}{7} με το x_{1} και το -\frac{2}{3} με το x_{2}.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$21x^{2}+11x-2=21\left(x-\frac{1}{7}\right)\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Αφαιρέστε x από \frac{1}{7} βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και αφαιρώντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\left(x+\frac{2}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{2}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{7x-1}{7}\times \frac{3x+2}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{7x-1}{7} επί \frac{3x+2}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{7\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 7 επί 3.

$$21x^{2}+11x-2=21\times \frac{\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)}{21}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 21 σε 21 και 21.

$$21x^{2}+11x-2=\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(7x-1\right)\left(3x+2\right)$$