Επίλυση 21x^2+55x+36

$$21 { x }^{ 2 } +55x+36$$

Παράγοντας

$$\left(3x+4\right)\left(7x+9\right)$$

Βήματα λύσης

Παραγοντοποιήστε την παράσταση με ομαδοποίηση. Αρχικά, η παράσταση πρέπει να γραφτεί ξανά ως 21x^{2}+ax+bx+36. Για να βρείτε a και b, ρυθμίστε ένα σύστημα για επίλυση.

$$a+b=55 ab=21\times 36=756$$

Εφόσον ab είναι θετική, a και b έχουν το ίδιο πρόσημο. Επειδή η a+b είναι θετική, a και b είναι θετικοί. Εμφάνιση όλων αυτών των ζευγών ακέραιων αριθμών που επιστρέφουν γινόμενο 756.

$$1,756 2,378 3,252 4,189 6,126 7,108 9,84 12,63 14,54 18,42 21,36 27,28$$

Υπολογίστε το άθροισμα για κάθε ζεύγος.

$$1+756=757 2+378=380 3+252=255 4+189=193 6+126=132 7+108=115 9+84=93 12+63=75 14+54=68 18+42=60 21+36=57 27+28=55$$

Η λύση είναι το ζεύγος που δίνει άθροισμα 55.

$$a=27 b=28$$

Γράψτε πάλι το 21x^{2}+55x+36 ως \left(21x^{2}+27x\right)+\left(28x+36\right).

$$\left(21x^{2}+27x\right)+\left(28x+36\right)$$

Παραγοντοποιήστε 3x στο πρώτο και στο 4 της δεύτερης ομάδας.

$$3x\left(7x+9\right)+4\left(7x+9\right)$$

Παραγοντοποιήστε τον κοινό όρο 7x+9 χρησιμοποιώντας επιμεριστική ιδιότητα.

$$\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)$$

Βήματα χρήσης του τετραγωνικού τύπου

Η τετραγωνική πολυωνυμική εξίσωση μπορεί να παραγοντοποιηθεί, χρησιμοποιώντας το μετασχηματισμό ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), όπου x_{1} και x_{2} είναι οι λύσεις της τετραγωνικής εξίσωσης ax^{2}+bx+c=0.

$$21x^{2}+55x+36=0$$

Όλες οι εξισώσεις της μορφής ax^{2}+bx+c=0 μπορούν να λυθούν με χρήση του τετραγωνικού τύπου: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ο τετραγωνικός τύπος παρέχει δύο λύσεις, μία όταν το ± είναι συν και μία όταν είναι πλην.

$$x=\frac{-55±\sqrt{55^{2}-4\times 21\times 36}}{2\times 21}$$

Υψώστε το 55 στο τετράγωνο.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-4\times 21\times 36}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -4 επί 21.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-84\times 36}}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το -84 επί 36.

$$x=\frac{-55±\sqrt{3025-3024}}{2\times 21}$$

Προσθέστε το 3025 και το -3024.

$$x=\frac{-55±\sqrt{1}}{2\times 21}$$

Λάβετε την τετραγωνική ρίζα του 1.

$$x=\frac{-55±1}{2\times 21}$$

Πολλαπλασιάστε το 2 επί 21.

$$x=\frac{-55±1}{42}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-55±1}{42} όταν το ± είναι συν. Προσθέστε το -55 και το 1.

$$x=-\frac{54}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-54}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 6.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Λύστε τώρα την εξίσωση x=\frac{-55±1}{42} όταν το ± είναι μείον. Αφαιρέστε 1 από -55.

$$x=-\frac{56}{42}$$

Μειώστε το κλάσμα \frac{-56}{42} σε χαμηλότερους όρους με την εξαγωγή και την ακύρωση του 14.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Υπολογίστε την αρχική παράσταση χρησιμοποιώντας το ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Αντικαταστήστε το -\frac{9}{7} με το x_{1} και το -\frac{4}{3} με το x_{2}.

$$21x^{2}+55x+36=21\left(x-\left(-\frac{9}{7}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{4}{3}\right)\right)$$

Απλοποιήστε όλες τις παραστάσεις της μορφής p-\left(-q\right) σε p+q.

$$21x^{2}+55x+36=21\left(x+\frac{9}{7}\right)\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{9}{7} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{7x+9}{7}\left(x+\frac{4}{3}\right)$$

Προσθέστε το \frac{4}{3} και το x βρίσκοντας έναν κοινό παρονομαστή και προσθέτοντας τους αριθμητές. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους δυνατούς όρους, εάν αυτό είναι δυνατό.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{7x+9}{7}\times \frac{3x+4}{3}$$

Πολλαπλασιάστε το \frac{7x+9}{7} επί \frac{3x+4}{3} πολλαπλασιάζοντας τον αριθμητή επί τον αριθμητή και τον παρονομαστή επί τον παρονομαστή. Στη συνέχεια, απλοποιήστε το κλάσμα στους μικρότερους όρους, εάν είναι δυνατό.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)}{7\times 3}$$

Πολλαπλασιάστε το 7 επί 3.

$$21x^{2}+55x+36=21\times \frac{\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)}{21}$$

Ακύρωση του μέγιστου κοινού παράγοντα 21 σε 21 και 21.

$$21x^{2}+55x+36=\left(7x+9\right)\left(3x+4\right)$$

Υπολογισμός

$$\left(3x+4\right)\left(7x+9\right)$$